МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ
ШКОЛА № 167

ПРИНЯТО

УТВЕРЖДЕНО

решением Педагогического совета

Приказом директора
МАОУ СОШ № 167

Протокол №1 от «30» августа 2024

№ 97 от 30.08.2024 г.

Приложение к Основной образовательной программе
среднего общего образования
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
элективный курс «Уравнение с параметрами» (базовый уровень)
для обучающихся 10 – 11 классов

Екатеринбург 2024
20

Пояснительная записка
Элективный курс профильной подготовки учащихся 10, 11 классов посвящён одной из тем курса алгебры – задачам с параметрами.
К сожалению, в средней школе при изучении алгебры практически не рассматриваются (или рассматриваются недостаточно)
уравнения с параметрами.
С понятием параметра (без употребления этого термина) учащиеся уже встречались в 7 классе, когда изучали линейные уравнения
ax = b , и при изучении в 8 классе квадратных уравнений ax 2 + bx + c = 0 .
В средней школе недостаточно рассматриваются уравнения с параметрами. Но с
понятием параметра ( не употребляя этот термин) встречаются начиная с 7 класса., когда изучают линейное уравнение вида ах=b , и в 8
классе при изучении квадратичного уравнения ax2+bx+c=0.
Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, но он часто встречается
на выпускных экзаменах по математике. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью близкой к
исследовательской. . Это обусловлено тем ,что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень
сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При
решении их используются не только типовые алгоритмы, но и нестандартные методы , упрощающие решение. В связи с этим, на первых
порах при работе над этой темой ученика предлагаются простые решаемые по алгоритму задачи, с последующим усложнением задач.
Курс построен как углубленное изучение вопроса и является развитием системы ранее приобретенных знаний. Углубление реализуется на
базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры,
развивающей научно- теоретическое и алгоритмическое мышление и направлено на развитие самостоятельной исследовательской
деятельности.

Цели и задачи
Изучение элективного курса направлено на достижение следующих целей:
-углубить и расширить знания методов и приемов к решению задач с параметрами
-продолжить работу по интеллектуальному развитию учащихся, формированию определенного уровня абстрактного и логического
мышления
-сформировать у учащихся представление о задачах с параметрами как о задачах исследовательского характера ,показать их многообразие
-перспективные возможности успешного усвоения курса математики в высших учебных заведениях
Достижение поставленных целей возможно через решение задач с параметрами, что позволяет поставить следующие основные задачи:
-обеспечение прочного и осознанного овладения учащимися системой математических знаний и умений при решении задач с параметрами;
-формирование интеллектуальных умений и навыков самостоятельной математической деятельности;
-обеспечение математической подготовки для сдачи ЕГЭ и изучения содержания математического образования в технических вузах .

Содержание курса
Линейные уравнения, их системы -9ч. Решение линейных уравнений с параметрами .Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение систем линейных уравнений (с двумя переменными) с параметрами.
21

Линейные неравенства и их системы с параметрами-3ч. Решение линейных неравенств с параметрами. Решение линейных неравенств с
параметрами с по-мощью графической интерпретации. Решение систем линейных неравенств с одной переменной, содержащих параметры.
Квадратные уравнения и неравенства -11ч. Решение квадратных уравнений с параметрами. Использование теоремы Виета при решении
квадратных уравнений с параметрами. Решение уравнений с параметрами, приводимых к квадратным. Расположение корней квадратного
уравнения в зависимости от параметра. Решение квадратных неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Нахождение заданного
количества решений уравнения или неравенства.
Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами-11ч. Графический метод решения задач с параметрами.
Применение понятия «пучок прямых на плоскости. Фазовая плоскость. Использование симметрии аналитических выражений. Решение
относительно параметра. Область определения помогает решать задачи с параметром. Использование метода оценок и экстремальных
свойств функции. Равносильность при решении задач с параметрами. Решение различных видов уравнений и неравенств с параметрами.

Требования к знаниям и умениям
В результате изучения курса учащиеся должны знать:
Определение уравнения содержащего параметр, принципы решения уравнений и неравенств содержащих параметр, аналитические и
графические методы решения задач с параметрами:
Уметь:
Решать линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметрами, применять аппарат алгебры и математического анализа для
решения прикладных задач.
Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, однако часто предлагается на выпускных экзаменах по математике.
Решение задач с параметрами вызывает у учащихся значительные затруднения. Эти задачи требуют к себе особенного подхода по
сравнению с остальными заданиями. Они представляют собой определенную сложность в техническом и логическом плане. Решение
уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено
тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений
наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При решении их используются
не только типовые алгоритмы решения, но и нестандартные методы, упрощающие решение. В связи с этим на первом этапе работы по этой
теме ученикам предлагаются простые по алгоритму решения задачи (ЗЗ – знакомая задача), с последующим усложнением задач (МЗ –
модифицированная задача, НЗ –незнакомая задача).
Преподавание курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса и является
развитием системы ранее приобретенных знаний. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических
задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое
мышление и направлена на развитие самостоятельной исследовательской деятельности.

22

решать линейные и квадратные уравнения с параметром;
решать иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические уравнения с параметром как аналитически так и
графически;
применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач.

•
•
•

Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный.

Требования к знаниям и умениям
В результате изучения курса учащиеся должны знать:
Определение уравнения содержащего параметр, принципы решения уравнений и неравенств содержащих параметр, аналитические и
графические методы решения задач с параметрами:
Уметь:
Решать линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметрами, применять аппарат алгебры и математического анализа для
решения прикладных задач.

Календарно-тематическое планирование учебного материала
11 класс 34 часов (1 час в неделю)
№п\п
1

тема

Колич.
часов
1

Понятие «уравнения с параметрами

Линейные уравнения, их системы -9ч.
2
Решение линейных уравнений с параметрами
3
Решение линейных уравнений с параметрами
4
Решение линейных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий
(ограничений) к корням уравнений
5-6
Решение уравнений, приводимых к линейным
7-8
. Решение систем линейных уравнений (с двумя переменными) с параметрами
9
Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры
10
Зачет по теме «Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами»
Линейные неравенства и их системы с параметрами-3ч
11

Решение линейных неравенств с параметрами

1
1
1
2
2
1
1

1
23

Дата проведения
по плану факт.

12
Решение линейных неравенств с параметрами с помощью графической интерпретации
13
Решение систем линейных неравенств с одной переменной, содержащих параметры
Квадратные уравнения и неравенства -11ч
14
Решение квадратных уравнений с параметрами
15
Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами
16
Решение уравнений с параметрами, приводимых к квадратным
17-19 Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра
20
Взаимное расположение корней двух квадратных уравнений
21
Решение квадратных неравенств
22
Решение неравенств методом интервалов
23
Нахождение заданного количества решений уравнения или неравенства
24
Зачет по теме «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами»
Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами-11ч
25-26 Графический метод решения задач с параметрами
27
Применение понятия «пучок прямых на плоскости
28
Фазовая плоскость
29
Использование симметрии аналитических выражений
30
Решение относительно параметра
31
Область определения помогает решать задачи с параметром
32
Использование метода оценок и экстремальных свойств функции
33
Равносильность при решении задач с параметрами
34
Решение различных видов уравнений и неравенств с параметрами
35
Зачет по теме «Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами»

1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Ожидаемые результаты
Главная задача, которую должны усвоить учащиеся, что уравнения и неравенства с параметром – это семейство уравнений или неравенств
определяемых параметром. Отсюда вытекает способ решения: в зависимости от структуры уравнения или неравенства выделяются
подмножества, множества допустимых значений параметра и для каждого такого подмножества находится соответствующее множество
корней уравнения или множество решений неравенства. Этот смысл доводиться до сознания учащихся путем рассмотрения конкретных
примеров уравнений и неравенств с параметрами.
Литература для обучающихся:
1. Амелькин В.В., Рабцевич И.Л. « Задачи с параметрами» , Минск, «Асар».1996г.
24

2. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С. Шварцбурд С.И. «Алгебра и начала анализа для 10 класса», Москва, «Просвещение», 2006г.
3. Г.А. Ястребинецкий «Уравнения и неравенства с параметрами», Москва, «Просвещение», 1972 г.
4. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10-11 класс, Москва, «Просвещение».1989 г.
5. Шахмейстер А.Х. « Задачи с параметрами в ЕГЭ».С.-Петербург, 2004г.
6. Сборники для подготовки к ЕГЭ 2005-2013 год
Литература для учителя:
1. Амелькин В.В., Рабцевич И.Л. « Задачи с параметрами» , Минск, «Асар».1996г.
2. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С. Шварцбурд С.И. «Алгебра и начала анализа для 10 класса», Москва, «Просвещение», 2006г.
3. Г.А. Ястребинецкий «Уравнения и неравенства с параметрами», Москва, «Просвещение», 1972 г.
4. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по матиматике 10-11 класс, Москва, «Просвещение».1989 г.
5. Шахмейстер А.Х. « Задачи с параметрами в ЕГЭ».С.-Петербург, 2004г.
6.Математика. 10-11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс/авт.-сост.Д.Ф. Айвазян.-Волгоград:
Учитель,2009 год

25